Calculadora de Progressão Geométrica (PG)
Calcula o termo geral (aₙ), a soma finita dos n termos e a soma infinita de uma PG a partir do primeiro termo e da razão.
- Soma Sₙ (n termos)
- —
- Soma S∞
- —
Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência em que cada termo é o anterior multiplicado por uma razão constante q. A calculadora aplica o termo geral aₙ = a₁·q^(n−1), a soma finita Sₙ = a₁·(qⁿ − 1)/(q − 1) e a soma infinita S∞ = a₁/(1 − q), que só converge quando |q| < 1. Informe o primeiro termo (a₁), a razão (q) e a quantidade de termos (n).
Como calcular
Fórmula
- Informe o primeiro termo a₁ da sequência.
- Informe a razão q — a constante que multiplica cada termo.
- Informe n, a posição do termo desejado e a quantidade de termos da soma finita.
- A calculadora aplica aₙ = a₁·q^(n − 1) para o termo geral.
- E Sₙ = a₁·(qⁿ − 1)/(q − 1) para a soma finita; a soma infinita aparece só quando |q| < 1.
Exemplo
PG com primeiro termo 3, razão 2, querendo o 5º termo e a soma dos 5 primeiros.
- Termo geral: a₅ = 3·2^(5 − 1) = 3·16 = 48.
- Soma finita: S₅ = 3·(2⁵ − 1)/(2 − 1) = 3·31/1 = 93.
- Soma infinita: como |q| = 2 ≥ 1, a série diverge e o resultado é 0.
O 5º termo é 48 e a soma dos 5 primeiros é 93.
Erros comuns
- Esperar uma soma infinita com razão ≥ 1: a série só converge quando |q| < 1; fora disso o resultado é 0 (diverge).
- Usar qⁿ em vez de q^(n − 1) no termo geral: o primeiro termo está na posição 1, então há (n − 1) multiplicações.
- Esquecer o caso q = 1 ao somar manualmente: aí a soma é a₁·n, não a fórmula geral.
Glossário
- Razão (q)
- O fator constante pelo qual cada termo de uma PG é multiplicado.
- Soma infinita (S∞)
- O limite da soma de todos os infinitos termos de uma PG, finito apenas quando |q| < 1.
Tabela de referência
Termo aₙporPrimeiro termo (a₁) — considerando Razão (q): 2 ; Posição / quantidade de termos (n): 2 un.
| Primeiro termo (a₁) | Termo aₙ |
|---|---|
| 1 | 2,0000 |
| 2 | 4,0000 |
| 5 | 10,0000 |
| 10 | 20,0000 |
| 20 | 40,0000 |
| 50 | 100,0000 |
| 100 | 200,0000 |
Perguntas frequentes
Qual a diferença entre PA e PG?
Numa progressão aritmética (PA) você SOMA uma razão constante a cada termo; numa progressão geométrica (PG) você MULTIPLICA cada termo por uma razão constante. A sequência 2, 4, 8, 16… é uma PG de razão 2, porque cada termo é o dobro do anterior.
Quando a soma infinita de uma PG existe?
A soma infinita S∞ = a₁/(1 − q) só faz sentido quando |q| < 1, ou seja, a razão está entre −1 e 1 (sem contar os extremos). Nesse caso os termos vão ficando cada vez menores e a soma se aproxima de um valor finito. Se |q| ≥ 1 a série diverge (cresce sem limite) e a calculadora mostra 0 para indicar que não há soma finita.
Como fica a soma finita quando a razão é 1?
Com q = 1 todos os termos são iguais ao primeiro, então a soma dos n termos é apenas a₁·n. A fórmula geral a₁·(qⁿ − 1)/(q − 1) não pode ser usada nesse caso porque dividiria por zero; a calculadora trata esse caso separadamente.